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Como estudar matemática?

(Observação: Toda citação que faço sobre algo fora deste blog já tem um link embutido em seu nome.)

Na postagem anterior tinha te dado motivos para estudar matemática, motivos que poderiam ir além do que meramente passar em provas, mas relaxe, eu não espero que você tenha como motivação isso. Todos somos seres humanos e todos temos nosso objetivos de vida. Portanto, vamos agora ao tema principal, uma questão existêncial, como estudar matemática? Antes de tudo, tudo que eu já te falei, e agora vamos à ação.

O material:

O material básico de um estudante de matemática é definido de duas formas diferentes, que vai variar do gosto pessoal (e olha como separo tudo de forma rigorosa):

Com cadernos:

  • 1 caderno de 10 matérias / 200 folhas para anotação de teoria
  • 1 caderno de 1 matéria / 96 folhas para resumões
  • 2 cadernos de 10 matérias / 200 folhas para exercícios
  • 2 canetas azuis, 1 caneta vermelha e 10 lápis da BIC
  • Apontador e borracha

Sem cadernos:

  • 1 pasta sanfonada com ao menos 10 divisórias
  • 1 bloco de folha A4 com 500 folhas
  • 2 canetas azuis, 1 caneta vermelha e 10 lápis da BIC
  • Apontador e borracha

A resolução de exercícios é a parte mais importante para determinar se você está entendendo a matéria, mas não de forma absoluta. Pois se adota muito a ideia de decorar a matéria, de decorar fórmulas, de nem ao menos saber o porquê chegou a um resultado.

  x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}  

Então você sabe a fórmula, mas não sabe chegar nela, muito menos sabe porquê ela existe, então você não sabe matemática, você sabe operações aritméticas: “Soma, subtrai, divide e multiplica, e puf mágica! Deu dois números!”, e daí? Qual o significado, você sabe? Saber resolver exercícios cada vez mais complicados é um indício de que você está sabendo a matéria, mas tome cuidado para não cair na ilha dos decorebas. E será o famoso filósofo do:

“Quanta coisa inútil, pra que estou estudando isso se nunca vou usar na minha vida?” – Aluno Aleatório

Os livros:

Esta é uma das partes mais importantes, pois os livros são fontes boas de conhecimento. E irei listá-los por hierarquia de conhecimento dos mais básicos e elementares para os mais elaborados. Alguns deixarei o link indexado caso eu tenha eles para baixar.

(Basta clicar em cada nome)

 

Livros Básicos (Educação Básica – Preparação ENEM / Vestibulares)

Livros Intermediários (Olimpíadas)

Livros Universitários (Computação, Engenharia, Física e Matemática)

Aos vestibulandos ou estudantes do ensino básico: Considero os livros do Morgado obrigatórios, ainda mais pois considero o Augusto Morgadoin memoriam,  um ícone da educação matemática no Brasil, com livros mesmo que antigos de qualidade. Para o estudo geral do vestibular, logo após ter terminado os dois livros iniciais do Morgado você poderá optar pelo Fundamentos de Matemática Elementar, no qual há vários autores, mas o mais popular entre eles o Gelson Iezzi, contendo no total da coleção 11 volumes, porém só disponibilizei os quais achei disponíveis na internet ou de Noções de Matemática  do Aref Antar, a escolha entre as duas coleções fica a sua escolha.

Aos estudantes de olimpíadas: O único conteúdo que estou disponibilizando gratuitamente é o pacote  de download que é disponibilizado pelo  IMPA, para preparação das turmas olímpicas, porém basta ver que o preço de cada livro na Sociedade Brasileira de Matemática são baratíssimos, algo que dá disponibilidade para qualquer um de tê-los. A melhor recomendação para seguir seus estudos além desses PDF’s e os livros são do canal Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo,  nele você terá aulas com os melhores professores (e ex-medalhistas internacionais) no qual te dará preparação total. Se você desconhece sobre o que é a Olimpíadas Brasileira de Matemática, recomendo acessar esse link aqui.

Aos universitários: Não estou criando limitações de estudo para você! Apenas estou mostrando os enfoques de cada livro, pois cada um segue uma linha metodológica. O Hamilton Guidorizzi é um matemático que preferiu escrever um livro para graduação de matemática, ou seja, no livro dele há muitas questões de demonstração, há um formalismo grande e um rigor, no Volume 1 têm um apêndice que se estende até os tópicos de Análise Real, que é um tópico avançado que só se aprende nos cursos de matemática, idem para o livro do Apostol. Os livros do James Stewart puxam muito para aplicações, tanto que nos livros dele há diretamente questões com equações diferenciais ordinárias de forma mais aplicada.  Assim para Teoria dos Números que é um livro para graduação de matemática e mestrandos na área, com questões muito bem elaboradas da IMO (International Mathematical Olympiad) e com questões que levam muito para onde uma graduação de ciências da computação não é necessário ir nos termos de graduação. Entre eles não há necessariamente o melhor livro, se você faz matemática não se bloqueie a usar apenas o Guidorizzi e não o Stewart, pode finalizar ambos os livros, mas alternar entre eles no meio do estudo é meio desastroso para seu planejamento.

 

Vídeo Aulas:

Canais para o nível básico e médio:

Canais para o nível de matemática olímpica:

Canais para o nível universitário :

Aos vestibulandos e estudantes do ensino básico:  considero o melhor canal no youtube sobre matemática básica e de nível médio o vestibulândia. Pelo fato de ser um canal completo e apresentado de forma no qual não temos uma informalidade excessiva, deixando portanto um rigor, uma exatidão e sem erros sobre o assunto tratado. Algo que apenas acho incompleto ainda na internet é ausência de exercícios sobre os assuntos tratados, algo que quero contribuir disponibilizando para auxílio dos estudos sejam dos vestibulandos, universitários ou entusiastas. O Matemática Rio ainda perde por não estar completo ainda, considero o Professor Rafael Procopio um ótimo professor, deixo como uma segunda opção caso queira ver um mesmo de aula dado por outra pessoa, idem ao Professor Ferreto.

Aos estudantes olímpicos: pouco a dizer, apenas digo para ver todos os canais e todos os vídeos.

Aos estudantes universitários: A UNIVESP tem uma dinâmica interessante sobre as aulas, pois são filmadas dentro de sala de aula dando uma imersão realista de ter aula na universidade, os professores são excelentes (principalmente o Cláudio Possiani, pois aprendi muito bem Cálculo II e III com as aula dele), além de ser completo tendo as matérias de Álgebra Linear, todos os Cálculos e os tópicos de Física. LCMAquino é um canal no conceito do vestibulândia, na mesma qualidade, porém ainda sem a completude sobre o ensino superior. Por último, mas não menos importante temos o Grings, ele talvez esteja acima de todos aí, mesmo ele não tendo aulas tão elaboradas técnicamente (câmera, cenário e ect), nele contamos com uma forma que ele simplifica algumas questões da matemática superior, sem as deixarem coerentes e com o rigor que a matemática necessita.

Fóruns de dúvidas:

É recorrente necessitarmos saciar dúvidas sobre algumas questões nos quais não conseguimos resolver, somos humanos (com exceção de Gauss) e nada melhor que a internet para nos ajudar. Aqui deixarei disponibilizado alguns fóruns ativos e com bom movimento onde achará pessoas parar tirar suas dúvidas gratuitamente e quem sabe você também tirar de outras pessoas.

Eu utilizo mais o TutorBrasil, acho o layout amigável e me acostumei com a dinâmica dele. Algo importante que você tem que saber antes de usar qualquer fórum desses é saber escrever a matemática para que as expressões saiam de uma forma harmoniosa. Para aprender basta clicar aqui.

E agora?

Bom, já te dei como organizar seus materiais, você já tem agora disponibilizado livros e vídeo-aulas, no primeiro post meu tinha lhe pedido para organizar seus horários usando a planilha que deixei disponibilizada. Agora apenas lhe falta a ação que conduzirá a sua disciplina.

 

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Por que estudar matemática?

O que é matemática? (Uma motivação)

Antes de você começar a estudar matemática, você já parou para pensar  o que é matemática? Talvez eu poderia jogar uma definição pronta sobre o assunto que qualquer um encontra no wikipédia, algo mecânico, decorado. Nosso contato na escola costuma ser de um peso a ser estudado para garantirmos notas nas escolas e vaga nas universidades pelo vestibular. Então sobre a matemática:

“Uma vida não revisada não vale a pena ser vivida” – Sócrates (399 A.C)

Primeiramente veja nossa vida humana, algo limitado, expectativa de vida menor que um século. Somos os únicos seres vivos conhecidos com uma capacidade intelectual elevada, que nos leva a ser conscientes de nossa própria existência e de nossa morte. Isso desencadeia em nós tudo que temos hoje em dia, toda a ciência desenvolvida, a filosofia e assim portanto, a matemática. Matemática é o material básico advindo da filosofia, aos nos perguntarmos sobre questões que são necessárias pensar, acabamos tendo necessidade de criar mecanismos de termos certezas sem falhas no que nós pensamos e cremos, daí nasceu a lógica, e após termos esses mecanismos, acabamos necessitando de uma forma de transmitir estas certezas, chamada de linguagem.

“Se você quer realmente ser alguém que procura a verdade, deve pelo menos uma vez na vida duvidar, ao máximo possível, de todas as coisas.” – René Descartes (1596 – 1650)

Então, o que aqueles gregos antiquados como Pitágoras estavam fazendo ao deduzir que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos? Estavam criando certezas num mundo abstrato, utilizando a lógica como mecanismo de certeza e para transmiti-lá,  usaram uma linguagem. Homens loucos por estar fazendo o que apenas um ser humano é capaz de fazer? Que loucura há de descobrir um mundo que se esconde embaixo dos nossos olhos? Um mundo vasto, não tão simples, muito menos tão prazeroso em primazia, mas verdadeiro.

“Não se preocupe com suas dificuldades em Matemática, posso assegurar-lhe que as minhas são bem maiores.” – Albert Einstein (1879 – 1955)

Deduzir verdades é apenas um dos escopos no qual a matemática é feita. Enquanto pensamos sobre questões relevantes ao qual se estuda este mundo abstrato acabamos caindo em problemas, problemas nos quais temos de sair com argumentos lógicos, argumentos nos quais são chamados de demonstração. Uma verdade matemática (teorema)  torna-se verdade apenas mediante uma argumentação lógica (demonstração). Dentro da matemática temos ainda as questões mais simples que são aceitas como verdades sem demonstração (axiomas ou postulado) no qual é onde se começa a discutir um assunto na matemática. Exemplo é o postulado das paralelas na geometria euclidiana, que re-escrita de forma atual ficaria: “Duas retas distintas são paralelas quando são coplanares (estão no mesmo plano) e não têm ponto comum.”.  E por final temos as conjecturas que são problemas na matemática que não foram solucionados, talvez quando provados verdadeiros ou falsos se tornem teoremas.

Um problema de 300 anos…

“Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro”. –  Pierre de Fermat (1601 – 1665)

Pierre de Fermat era seu nome,  em 1637 ele teria formulado um problema que permearia três séculos e meio de duração até sua resolução. Este problema ficou conhecido como O último teorema de Fermat. Nesta jornada apenas te convido a acompanhar Andrew Wiles (quem o resolveu) num desafio que passou pelas mentes mais brilhantes que nossa humanidade pode ter acompanhado. Veja o documentário aqui. (lembre-se de ativar as legendas (cc)).

Um mundo ainda cheio de problemas:

Após você ter visto essa jornada de Andrew Wiles, espero ter te dado a curiosidade sobre em qual magnitude os problemas matemáticos existem hoje em dia. E te digo, eles são vastos e existem homens de grande paixão e dedicação que trabalham neles. No ano de 1900, em Paris, um matemático chamado David Hilbert, colocaria no congresso da Conferência Internacional dos Matemáticos os principais problemas matemáticos que poderiam ser tratados no século XX. Um dos problemas teve reconhecimento da resolução pelos matemáticos em 2010 resolvido pelo matemático Griogori Perelman, um homem de natureza excêntrica, mas com uma mente brilhante. Veja aqui um documentário sobre a história deste matemático, sua jornada na resolução do problema e também seu comportamento excêntrico por ter-se recusado a receber um prêmio de 1 milhão de dólares pela resolução (alguns desses problemas hoje em dia são premiados com essa quantia de dinheiro para quem os resolvê-los) e também de receber a medalha fields que é o reconhecimento máximo de quem trabalha com matemática no mundo.

O grande problema atual:

“Não é que eles não possam ver a solução. É que eles não conseguem ver o problema.” – G. K. Chesterton (1874 – 1936)

Não irei complicar em nada, apenas vamos do básico. O que é um número primo? Dado um número positivo, ele é considerado primo se tivermos dois divisores distintos  1 e  ele mesmo. Ou seja, 2 é um número primo porque dá para dividir por 1 e também por ele mesmo, 1 não é primo, pois ele é só divível por 1 e por ele mesmo (visto que não são distintos). Uma definição fácil, mas com problemas de magnitudes extremas. A primeira propriedade (um teorema) descoberto por Euclides de Alexandria foi que todo número que não é primo pode ser decomposto da multiplicação de primos, então o número 15 pode ser escrito como a multiplicação de dois números primos o 3 e o 5, então esse tipo especial de número seriam como blocos de construção de qualquer outro número, também provou que existem infinitos números primos (clique aqui para ver a demonstração) .  Então sabendo que existem infinitos números primos e que todo número que não é primo pode ser decomposto por multiplicação de números primos portanto, cabe nos perguntar, quantos primos existem de 1 até 10? Fácil, não? E de 1 até 100? E 1 até 1000? O número 5910518981 é primo? Daí nasceu problemas gigantescos, pois se você tentar listar os números primos começa a não encontrar padrões, tudo se torna um caos e foi desse caos que nasceu um problema ainda insolúvel. Carl Friedrich Gauss foi um dos gênios da humanidade que entrou neste problema, ele aos 7 anos de idade teria tido o primeiro tom de sua potencial carreira para matemática, quando em sala um professor de matemática irritado com a turma teria pedido que somassem de 1 até 100 como forma de castigo e Gauss teria demorado apenas alguns segundos dando-lhe a resposta correta 5050, quer saber como ele fez isso? (Clique aqui). Aos 16 anos ele teria o contato com os números primos conjecturando sobre como os números primos são distribuídos, no qual demorou-se 100 anos para ser resolvido e é conhecido como o Teorema de Número Primo. Então nesta altura do campeonato já sabiam uma forma de contar quantos números primos poderiam ter entre quantias extremamente grandes. Mas não sabia-se quais eram esses números primos, até hoje apenas por meio da computação tentamos encontrar números primos necessariamente grandes.

“Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós” – Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)

Logo após Gauss, temos o matemático Leonhard Euler, ele foi um dos matemáticos a introduzir uma função chamada função zeta ela é uma forma especial de função (que futuramente você entenderá o que é uma função acompanhando os estudos aqui de nível médio), nela que possivelmente há padrões de números primos e tal problema foi estendido à Riemann que levou essa função real para o campo de funções complexas (pode parecer estranho a linguagem, pois é algo muito restritivo, mas digamos que Riemann estendeu essas funções para um campo mais completo) e assim conjecturou uma hipótese no qual essa função poderia ser capaz de “achar todo primo”.  E tal hipótese é conhecida como Hipótese de Riemann.

Mas e daí?

Você deve estar pensando,  e então? Uma jornada toda por um objetivo como esse? Muitos se entusiasmam com problemas dessa magnitude, alguns apenas veem perda de tempo e querem ver uma aplicação real. Não irei fuzilar o segundo tipo de pessoa, nem todos tem esse gosto como eu tenho, afinal não somos seres homogêneos. Criptografia, o poder de se esconder informações, deixá-las seguras, isso que os números primos fazem hoje em dia no advento da computação. Quando você acessa sua conta de banco, maioria dos bancos utilizam uma forma de critpografia chamada Criptografia em RSA, nela há uma segurança, pela dificuldade de não encontrarmos primos tão grandes assim pelos métodos computacionais de forma rápida, o uso de primos tão grandes como chaves de segurança torna RSA tão segura. Quer conhecer mais sobre isso? Eu gostaria de que todos gostassem, se tiver ao menos 35 reais (25 reais + 10 de frete) você pode, apenas clicando aqui.

Veja também:

  1. Documentário sobre Números Primos
  2. Documentário sobre a História da Matemática
  3. Livro: Um Convite à Matemática
  4. Palestra no IMPA: O infinito e outras coisas estranhas

“Uma fórmula para felicidade: um sim, um não, uma linha reta, uma meta” – Friedrich Nietzsche (1844 – 1900)

Então é isso pessoal, este foi apenas uma tentativa de motivar você a estudar matemática, não apenas como uma matéria de vestibular, não apenas como uma matéria escolar, não apenas para tentar passar em cálculo 1, é minha tentativa de  te dar gosto por tentar resolver problemas, de procurar sobre assuntos relacionados a esse mundo abstrato. A te fazer enxergar um mundo além da escola, além da universidade, além das provas avaliativas. Uma dedicação a dar vida à um mundo abstrato, ao mundo ideal e perfeito dentro de verdades provadas pelo nosso intelecto. Te deixo então uma sugestão, veja os vídeos, leia o livro todo de Um Convite à Matemática e assim inicie-se nesse mundo de estudos e até a próxima.

 

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Primeiros passos do autodidata

Os pré-requisitos:

Antes de tudo, precisamos de requisitos básicos para uma pessoa ser capaz de estudar por conta própria, mas são simples e que qualquer um é capaz de alcançar tais requisitos. Denomino eles os MDP’s de qualquer atividade no desenvolvimento pessoal:

  1. Motivação
  2. Disciplina
  3. Planejamento

Motivação!

Primeiro, por quê você quer estudar? Ter motivos para estudar algo é importante, caso não tenhamos motivos concretos, não haverá  como sustentar seus objetivos o que te causará desmotivação contínua e sabotagem, destruindo portanto qualquer possibilidade de você prosseguir. Alcançar aprovação num vestibular? Concurso?  O quão importante pra você é passar por tudo isso?

Segundo, como você manterá as constância dessa atividade?  Estudar não é uma atividade como ir ao parque ou assistir um filme ou documentário. Estudar é uma atividade de participação ativa e de grande esforço intelectual contínuo, em opinião pessoal, estudar é sair de zona de conforto. Isto desencadeia uma questão para o terceiro pilar de sustentação do autodidata, se temos uma questão de como, então teremos a questão de nos planejar para isso.

Tenha um plano!

e execute-o…

A questão fundamental do planejamento é quanto tempo disponível você tem? Um dia tem 24 horas, o sono saudável é considerado o de 8 horas diárias, o que nos dá 16 horas. Você trabalha? Faz cursinho? Tem cursos de inglês? Estagia? Nisto há milhares de variações de horas tomadas diariamente de nossas vidas. Por isso, devemos imaginar o quanto de tempo disponível temos diariamente.

Organização do Horário:

A organização de horário vai variar muito de quanto tempo disponível você tem e quanto você precisa estudar o que está estudando, o quanto compromissado está em atingir seus objetivos. Assim, tente organizar seu horário de estudos:

Baixe isso.

Motivado, Disciplinado e Planejado, o que me falta?

O material a ser estudado. Uma questão bem delicada, pois dependendo do que você estudará, existe muito material ruim e que te torna improdutivo. Porém, você está na internet e nela você é capaz de encontrar os melhores materiais e raramente precisará gastar dinheiro com livros caros.

Os sites mais comuns para encontrar material é o Passei Direto e para os concurseiros de plantão temos A Casa do Concurseiro. No Passei Direto é comum você encontrar tópicos sobre recomendação de livros para cada matéria específica como também o PDF dos seus respectivos pedidos. Na Casa do Concurseiro é mais direto, pois é apenas uma empresa de preparação para concursos que disponibiliza apostilas de seus cursos que são pagos, mas a qualidade de suas apostilas não deixam a desejar.

A organização do blog:

O blog terá separação entre tópicos diferentes, os posts terão naturezas diferentes. Para você ver a separação dos tópicos e não se perder muito basta ir na parte superior do blog acima do PI e terá um menu em preto e branco ao clicá-lo abrirá as opções, na parte de tópicos você poderá selecionar nas categorias que disponibilizo.

topicos

Assim, prosseguiremos para o estudo direto da matemática e no empenho do autodidatismo:

  1. Por que estudar matemática?
  2. Como estudar matemática?
  3. Cronograma de Estudos
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