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A lógica e sua importância na humanidade

Um pouco de História:

A Enciclopédia Barsa  nos da a seguinte definição de lógica: “Ciência que estuda as leis do raciocínio e as condições de verdade em vários domínios do conhecimento”.

Aristóteles, na Grécia Antiga, foi um dos pioneiros do desenvolvimento da lógica, apresentando regras para que um raciocínio esteja encadeado corretamente, chegando a conclusões verdadeiras a partir de premissas verdadeiras. No século XIX, alguns matemáticos e filósofos – dentre eles George Boole (1815 – 1864), Augustus De Morgan (1806 – 1871), Gottlob Frege (1848 – 1925), Bertrand Russell (1872 – 1970) e Alfred North Whitehead (1861 – 1947) – começaram a usar a lógica para fundamentação da matematica. Perceberam que, para esse propósito, era necessário desenvolver uma simbologia própria para a linguagem lógica, para evitar os paradoxos e imprecisões provenientes da linguagem natural, começaram a desenvolver lógica simbólica, formada por uma linguagem estrita e universal, livre de contexto.

Entendemos por linguagem um conjunto de símbolos (geralmente visuais ou sonoros) que, dependendo da maneira como são dispostos em sequência, apresentam significados distintos. Por exemplo, um idioma pode ser visto como duas linguagens: uma em que os símbolos usados são sons (a linguagem falada) e outra em que os símbolos são visuais (a linguagem escrita). Foquemo-nos na língua escrita. Temos nela um conjunto de símbolos (as letras do alfabeto, os sinais de pontuação, os acentos gráficos, e até os espacos usados para separar as palavras) e algumas regras para juntar esses símbolos formando palavras, assim como algumas regras para juntar as palavras para formar frases. Nem todo agrupamento de letras forma uma palavra existente, assim como nem todo agrupamento de palavras forma uma frase bem estruturada.

Se alguém domina a língua escrita de um determinado idioma, é capaz de compreender quando um agrupamento de letras forma uma palavra, e quando um agrupamento de palavras forma uma frase gramaticalmente correta. Mas isso não será suficiente para qualquer forma de comunicação se não houver nessas frases outro fator essencial na linguagem: o significado. Quem domina um idioma não apenas reconhece as frases bem estruturadas, mas sabe transpor esse conjunto de sinais ao mundo real , concedendo as palavras uma interpretação nesse mundo, e permitindo que a linguagem seja utilizada para que cada um possa transmitir a outros sua própria percepção do universo. Percebemos, então, que toda linguagem é constituída de dois elementos. A sintaxe consiste no conjunto de símbolos usados e nas regras de formação de palavras e frases a partir desses símbolos. A semântica de uma linguagem é a forma como esses símbolos, palavras e frases adquirem um significado, uma interpretação em algum universo definido. Estabelecer uma linguagem adequada e bem estruturada é fundamental para resolvermos e entendermos problemas dos mais variados objetos de estudo. O filósofo Wittgeinstein acreditava que diversos problemas da filosofia só existiam devido a falhas na linguagem utilizada, e que, portanto, eles seriam resolvidos a medida que aperfeiçoássemos a linguagem. Foi partindo desse princípio que Wittgeinstein ajudou a desenvolver a lógica matemática, como uma linguagem rigorosa e livre de ambiguidades.

Paradoxos…

Exemplos clássicos de como uma linguagem imprecisa pode trazer problemas inerentes a ela são os paradoxos, que são armações que apresentam em si, contradições aparentemente insolúveis. Vejamos, por exemplo, os paradoxos de Zenão de Eleia (490 a.c – 430 a.c.), que a afirmava não haver movimento:

  1. A flecha que voa nunca sai do lugar, pois, em cada instante de tempo
    ocupa uma só posição no espaço. Logo, ela está imóvel em todo o
    tempo.
  2. O corredor Aquiles nunca alcança a tartaruga, quando postos a correr simultaneamente, com a tartaruga a frente. Pois, cada vez que Aquiles alcança a posição onde a tartaruga estava anteriormente, essa última, por sua vez, ja avança um pouco, de modo que nunca será possível alcançá-la.
  3. Entre dois pontos há infinitos pontos. Ninguém pode atravessar infinitos
    pontos. Logo, não há movimento.

As conclusões de Zenão contrariam o senso comum, que aponta para uma vitória esmagadora de Aquiles, é claro. Mas o que Zenão estava fazendo era demonstrar que o movimento dos objetos é um fenômeno irreal e contraditório, consistindo sempre em mera ilusão dos sentidos.

Os argumentos de Zenão eram, na época, difíceis de serem rebatidos, por mais absurda que fosse sua conclusão. Quando um argumento parece correto, e sua conclusão é claramente falsa, mesmo partindo de premissas corretas, temos um sofisma. E necessário rever nossa linguagem e processo de argumentação se quisermos eliminar esses erros de raciocínio. No caso dos paradoxos de Zenão, o sofisma é oriundo da dificuldade de conceituar a infinitude. Sendo o infinito um dos primeiros conceitos matemáticos totalmente abstratos, nota-se a necessidade de uma linguagem aperfeiçoada para tratar esses conceitos de maneira precisa.

A lógica surgiu basicamente com dois propósitos: o de “formalizar as leis do pensamento” (essa expressão foi utilizada por outro pioneiro da lógica: George Boole), que utilizamos constantemente para argumentar e chegar a conclusões corretas a partir de premissas dadas, e o de estabelecer uma linguagem mais apropriada para a matematica e a filosofia, para evitar as armadilhas dos paradoxos e dos sofismas.

Para alcançar esse propósito, a formação de “palavras” e “frases” na lógica deve seguir regras objetivas, para que possamos limitar a linguagem e ter controle sobre ela. Isto é, para que possamos estudar propriedades gerais sobre as sentenças lógicas, o que é muito difícil de se conseguir na linguagem natural. Dizemos, então, que a lógica possui uma sintaxe controlada, livre de contexto.

Mas por quê?

Por que precisamos criar uma linguagem nova para formalizar a matemática e outras formas de raciocínio? Ou, por outro lado, por que não poderíamos substituir a linguagem usada no dia-a-dia pela linguagem lógica, se essa é mais rigorosa?

Para responder a essas perguntas e entendermos melhor a diferenca entre a linguagem lógica e a linguagem natural, recorremos a um dos fundadores da lógica moderna. Gottlob Frege comparava a linguagem natural ao olho humano e a lógica ao microscópio, conforme a seguinte explanação:

“Creio que posso tornar mais clara a relação entre minha conceitografia e a linguagem comum comparando-a a que existe entre o microscópio e o olho humano. Este, pela extensão de sua aplicabilidade, pela agilidade com que e capaz de adaptar-se as diferentes circunstâncias, leva grande vantagem sobre o microscópio. Considerado como aparelho ótico, o olho exibe decerto muitas imperfeições que habitualmente permanecem despercebidas, em virtude da ligação íntima que tem com a vida mental. No entanto, tão logo os fins científicos imponham exigências rigorosas quanto a exatidão das discriminações, o olho revelar-se-a insuficiente. O microscópio, pelo contrário, conforma-se a esses fins de maneira mais perfeita, mas, precisamente por isso, é inutilizável para todos os demais.”

A extensão de visão do olho humano é bem maior que a do microscópio, mas esse não enxerga pequenos detalhes não visveis aos olhos humanos. A visão do microscópio e mais detalhada, porém mais limitada.

A lógica – justamente por possuir uma sintaxe controlada e livre de contexto – tem um poder expressivo muito inferior a linguagem natural. Ela é insuficiente para descrevermos sentimentos e outros pensamentos mais complexos, e por esse motivo não pode substituir a linguagem cotidiana.

Por outro lado, quando estudamos assuntos mais restritos, com menos complexidade, porem com maior exigência de rigor  – como é o caso da matemática – a lógica faz-se necessária.

A linguagem natural ganha em expressividade, e a lógica ganha em rigor. A linguagem natural e útil para a visão panorâmica, e a lógica é útil para a visão detalhada.

À medida que queremos aproximar a lógica da linguagem natural, ganhando um pouco da expressividade dela sem perder o rigor daquela, pagamos o preco da complicação. Da mesma forma como uma imagem digitalizada no computador tenta aproximar uma cena real através de pequeníssimos quadradinhos coloridos, e fica tão mais dispendiosa para a memória do computador quanto exigimos maior resolução, também a lógica torna-se substancialmente mais complicada a medida que tentamos aproximá-la da linguagem natural, mantendo o rigor de uma linguagem lógica. É o caso das lógicas não-clássicas. Especialmente a lógica intuicionista e a lógica fuzzy foram elaboradas para se aproximarem da linguagem natural, e por isso mesmo são mais complexas que a lógica de primeira ordem.

Mesmo não sendo possível, na comunicação cotidiana, substituir a linguagem natural pela linguagem lógica, a compreensão da última fortalecerá o domínio da primeira. Quem estudou lógica será capaz de perceber alguns padrões onde é possível aplicar o rigor matemático, em fragmentos da linguagem. Não será frequente aplicarmos a lógica na linguagem natural para tirarmos conclusões logicamente corretas, de caráter incontestável, como, na concepção aristotélica da lógica formal, mas poderá nos prevenir de tirar conclusões erradas, conforme disse Bertrand Russel, no seguinte texto extraído:

“A lógica era, antigamente, a arte de tirar conclusões; agora, tornou-se a arte de abster-se de deduções, pois parece que as conclusões a que somos inclinados a chegar com naturalidade quase nunca são válidas. Concluo, portanto, que a lógica dever ser ministrada nas escolas com o propósito de ensinarem as pessoas a não raciocinar. Porque, se raciocinarem, certamente o farão de forma equivocada.”

 

Texto extraído e adaptado do livro:
Fajardo, R. "Lógica Matemática"
Download.
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