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Como resolver um problema matemático?

Um roteiro:

1. É preciso conhecer o problema! 

  • “Qual é a incógnita?” 
  • “Quais são os dados?”
  • “Quais condições são dadas?”

A incógnita é o que queremos determinar. Dentro do problema é possível fazermos uma coleta de dados relevantes. As condições são o que estabelecem conexão entre a incógnita e os dados do problema.

2. Encontre a conexão entre a incógnita e o que você conhece:

Logo após, devemos verificar as condições e estabelecer a conexão do que você conhece teoricamente, com o que você interpreta do problema, ou seja:

  • “Qual assunto teórico posso aplicar no problema?”
  • “Quais dados se conectam com esse assunto?”

3. Você tem a faca e o queijo, agora faça um sanduíche!

  • “Eureka!”

 

Exemplo:

(ENEM – 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva  y=\log(x).  
graficoenem2015

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é:

Aplicando o primeiro passo:

  • “Qual é a incógnita?”

Como visto ele quer determina a altura do vidro em função do comprimento, ou seja, h(n)=?

  • “Quais são os dados?”

Temos um gráfico cartesiano de uma função logarítmica, ou seja, uma função que representa y=\log(x) que representa o vidro, uma função que está limitada em um intervalo. Neste vidro, temos o comprimento n e altura h. Há também dois dados implícitos no problema, dois pontos nas extremidades do vidro.

  • “Quais condições são dadas?”

A condição principal no problema está na seguinte frase:

“A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x.”

Aplicando o segundo passo:

  • “Qual assunto teórico posso aplicar no problema?”

É evidente que o assunto abordado envolve Funções Logarítmicas. Portanto, para resolver este problema devemos ter base concreta em Função Logarítmica e em todos seus pré-requisitos (Logaritmo, Função Exponencial, operações de logaritmos, etc).

  • “Quais dados se conectam com esse assunto?”

Por se tratar de um problema de Função e termos uma representação gráfica temos, portanto, que a melhor informação é a representação do vidro como uma função limitada. Logo, devemos pensar em quais dados fundamentais há dentro dessa informação.

Temos,  x=1 \Rightarrow y=\log(1)=0, porém esse dado é trivial, pois em teoria da função logarítmica, temos sempre esse resultado.

Os outros dois dados são os pontos na extremidades do vidro! Chamemos o ponto à extremidade esquerda de x=k e sabemos que nesta extremidade, ela tem altura y=-\dfrac{h}{2}, logo o da extremidade à direita é x=k+n e sabemos que nesta extremidade há altura y=\dfrac{h}{2}, pois essa é a condição discutida no primeiro passo.

Aplicando o terceiro passo:

  • “Eureka”

Agora chegou a hora de raciocinarmos sobre o que temos e o como vamos usar. Como temos dois pontos \left(k,-\dfrac{h}{2} \right) e \left(k+n,\dfrac{h}{2}\right). Logo devemos aplicar esses pontos na função y=\log(x).

\begin{cases} -\dfrac{h}{2}=\log(k) \Rightarrow h=-2\log(k) \\ \dfrac{h}{2}=\log(k+n) \Rightarrow h=2\log(k+n)  \end{cases}

Portanto, h=h \Rightarrow -2\log(k)=2\log(k+n), por base teórica (operações com logaritmos), temos o seguinte passo:

-2\log(k)=2\log(k+n) \Rightarrow log(k^{-2})=\log[(k+n)^2], logo:

k^{-2}=(k+n)^2 \Rightarrow \dfrac{1}{k^2}=(k+n)^2  \Rightarrow \dfrac{1}{k}=(k+n) , pois k>0 .

Assim, temos que 1 = k^2 +kn ,  é uma equação do segundo grau com incógnita k , podemos resolvê-la: k=\dfrac{-n \pm  \sqrt{n^2+4}}{2} . Como k>0 , só convém a solução k=\dfrac{-n +  \sqrt{n^2+4}}{2}  . Portanto, podemos substituir em uma das equações no sistema inicial.

 

h=2\log(k+n)=2\log\left(\dfrac{-n +  \sqrt{n^2+4}}{2} +n \right).

Por fim, h=2\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right).

Conclusões:

Repare que os dois primeiros passos podem ser feitos de forma simples e direta, onde necessitamos de apenas interpretação de texto. Porém, o terceiro passo é o mais trabalhoso, pois necessita do primordial da matemática, que é o conhecimento teórico, profundo e sistemático. E isso só depende do seu estudo árduo e contínuo.

Este texto é uma adaptação do roteiro do livro:

Polya, G. “A arte de resolver problemas: Uma novo aspecto do método matemático”. Download.

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