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46 – Médio – Simulado 4

O simulado é uma prova de 100 questões objetivas e o propósito é que você aja como se fosse realmente uma prova, obviamente é opcional você submeter-se como se fosse uma prova, mas é aconselhável para ver seu preparo ou nível de conhecimento.

Regras:

  • Não pode haver consultas no momento em que estiver fazendo  simulado.
  • Não pode chutar alternativas, o objetivo é ver o que você sabe e não sua sorte.
  • A prova terá duração de 4 horas e 30 minutos.
  • Cada alternativa terá peso de 1 ponto.

Simulado:

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Gabarito:.

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44 – Médio – Geometria Plana – Área de Superfícies Planas I

Aulas de Auxílio:

A lista foi desenvolvida baseado nos assuntos tratados nas playlist abaixo:

Vestibulândia Os assuntos são a parte única da aula 44 e da parte única da aula 45.

Lista de Exercício:

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Gabarito:

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43 – Médio – Geometria Plana: Círculos e Circunferências

Aulas de Auxílio:

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Vestibulândia Os assuntos são a parte única da aula 44 e da parte única da aula 45.

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Decoreba não é estudar, é adestramento!

É recorrente quando estudamos matemática termos a problemática de tentar simplificá-la por base de tabelas com fórmulas e propriedades a serem decoradas, como se isso fosse mais efetivo nas resolução de problemas ou na sua aprovação em exames. O problema é que quando estamos engajados no aprendizado de um assunto, decorar sobre ele não se caracterizará como aprendizado. Isto é, fixar informações de forma repetitiva e mecânica não nos faz aprender matemática, talvez você aprenderá a resolver certos problemas matemáticos, porém não saberá o porque conseguiu resolvê-los. E será nos porquês que falhará muito da nossa compreensão da matemática e ela vem do berço da nossa escolaridade.

Conta

Ao se deparar com essa conta, você já sabe a resposta, já sabe o que tem que fazer, o passo a passo. Mas é visível que muitos no mundo apenas sabem como fazer a conta e não o porque a fazem da forma que foram ensinados. Vamos lá, tudo começa no 8+6=14, mas como 14 não dá pra botar logo lá em baixo, você vai umaí entramos numa questão. Por que “vai um” ? Muitos não sabem. Muitos não pensam. Muitos não questionam. Desde o berço somos ensinados a aprender as coisas de forma passiva e submissa a regras e convenções, ensinar a aceitar é lei e simples . Este exemplo pode parecer estúpido, assim como o pedir emprestado é outra frase adestradora convencionado a ensinarmos a como fazer contas.

Este costume vai acumulando-se do fundamental I até o II, quanto mais profunda a matemática fica, mais inútil ela está aparentemente tornando-se, quanto mais abstrato   um assunto está, maior o esforço na criação de mais de técnicas de resolução de problemas de mais tabelas para se memorizar, de mais macetes. Ninguém tem autonomia, ninguém faz perguntas e ninguém foi ensinado a esforça-se para pensar, o decorar é o mais confortável. A educação crítica tornou-se a educação dos cachorros.

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A educação dos cachorros é o que chamamos da educação do adestrado, nela tudo é construído para você e você nada constrói. Tudo foi criado para você usar e a não criar nada para ser usado. Você sabe resolver vários tipos de problemas das enciclopédias de problemas que você sabe encontrar a solução, se o problema muda de estrutura, o seu mundo é abalado. Sua passividade faz aceitar qualquer besteira que o pareça viável, seja pela autoridade de uma figura pública ou professor, você não verifica a veracidade das coisas, ou o porquê elas são verídicas.

Por fim, desde cedo devíamos ter o estímulo a pensar sobre as coisas e raciocinar sobre as soluções delas. A natureza do problema não tem que ser necessariamente matemático, mas de qualquer natureza que faça o indivíduo a pensar, inovar e criar. A descoberta tem que vir de qualquer via que o faça ser um agente ativo, senão ficaremos todos nesta eterna escravidão da passividade e do trabalho mecânico.

E o que isso tudo tem a ver com autodidatismo? Tudo, afinal o autodidata tem que ser autônomo, ter a necessidade de fazer tais questionamentos e ter a energia de procurar as respostas. Ele é o agente do fenômeno, está ativo inteiramente no estudo de um assunto, não quer apenas os resultados, quer o processo de como chegou-se aos resultados.

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33 – Médio – Noções de Geometria e Trigonometria

Aulas de Auxílio:

A lista foi desenvolvida baseado nos assuntos tratados nas playlist abaixo:

Vestibulândia Os assuntos são as 8 partes da aula 32.

Lista de Exercício:

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Como resolver um problema matemático?

Um roteiro:

1. É preciso conhecer o problema! 

  • “Qual é a incógnita?” 
  • “Quais são os dados?”
  • “Quais condições são dadas?”

A incógnita é o que queremos determinar. Dentro do problema é possível fazermos uma coleta de dados relevantes. As condições são o que estabelecem conexão entre a incógnita e os dados do problema.

2. Encontre a conexão entre a incógnita e o que você conhece:

Logo após, devemos verificar as condições e estabelecer a conexão do que você conhece teoricamente, com o que você interpreta do problema, ou seja:

  • “Qual assunto teórico posso aplicar no problema?”
  • “Quais dados se conectam com esse assunto?”

3. Você tem a faca e o queijo, agora faça um sanduíche!

  • “Eureka!”

 

Exemplo:

(ENEM – 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva  y=\log(x).  
graficoenem2015

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é:

Aplicando o primeiro passo:

  • “Qual é a incógnita?”

Como visto ele quer determina a altura do vidro em função do comprimento, ou seja, h(n)=?

  • “Quais são os dados?”

Temos um gráfico cartesiano de uma função logarítmica, ou seja, uma função que representa y=\log(x) que representa o vidro, uma função que está limitada em um intervalo. Neste vidro, temos o comprimento n e altura h. Há também dois dados implícitos no problema, dois pontos nas extremidades do vidro.

  • “Quais condições são dadas?”

A condição principal no problema está na seguinte frase:

“A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x.”

Aplicando o segundo passo:

  • “Qual assunto teórico posso aplicar no problema?”

É evidente que o assunto abordado envolve Funções Logarítmicas. Portanto, para resolver este problema devemos ter base concreta em Função Logarítmica e em todos seus pré-requisitos (Logaritmo, Função Exponencial, operações de logaritmos, etc).

  • “Quais dados se conectam com esse assunto?”

Por se tratar de um problema de Função e termos uma representação gráfica temos, portanto, que a melhor informação é a representação do vidro como uma função limitada. Logo, devemos pensar em quais dados fundamentais há dentro dessa informação.

Temos,  x=1 \Rightarrow y=\log(1)=0, porém esse dado é trivial, pois em teoria da função logarítmica, temos sempre esse resultado.

Os outros dois dados são os pontos na extremidades do vidro! Chamemos o ponto à extremidade esquerda de x=k e sabemos que nesta extremidade, ela tem altura y=-\dfrac{h}{2}, logo o da extremidade à direita é x=k+n e sabemos que nesta extremidade há altura y=\dfrac{h}{2}, pois essa é a condição discutida no primeiro passo.

Aplicando o terceiro passo:

  • “Eureka”

Agora chegou a hora de raciocinarmos sobre o que temos e o como vamos usar. Como temos dois pontos \left(k,-\dfrac{h}{2} \right) e \left(k+n,\dfrac{h}{2}\right). Logo devemos aplicar esses pontos na função y=\log(x).

\begin{cases} -\dfrac{h}{2}=\log(k) \Rightarrow h=-2\log(k) \\ \dfrac{h}{2}=\log(k+n) \Rightarrow h=2\log(k+n)  \end{cases}

Portanto, h=h \Rightarrow -2\log(k)=2\log(k+n), por base teórica (operações com logaritmos), temos o seguinte passo:

-2\log(k)=2\log(k+n) \Rightarrow log(k^{-2})=\log[(k+n)^2], logo:

k^{-2}=(k+n)^2 \Rightarrow \dfrac{1}{k^2}=(k+n)^2  \Rightarrow \dfrac{1}{k}=(k+n) , pois k>0 .

Assim, temos que 1 = k^2 +kn ,  é uma equação do segundo grau com incógnita k , podemos resolvê-la: k=\dfrac{-n \pm  \sqrt{n^2+4}}{2} . Como k>0 , só convém a solução k=\dfrac{-n +  \sqrt{n^2+4}}{2}  . Portanto, podemos substituir em uma das equações no sistema inicial.

 

h=2\log(k+n)=2\log\left(\dfrac{-n +  \sqrt{n^2+4}}{2} +n \right).

Por fim, h=2\log\left(\dfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\right).

Conclusões:

Repare que os dois primeiros passos podem ser feitos de forma simples e direta, onde necessitamos de apenas interpretação de texto. Porém, o terceiro passo é o mais trabalhoso, pois necessita do primordial da matemática, que é o conhecimento teórico, profundo e sistemático. E isso só depende do seu estudo árduo e contínuo.

Este texto é uma adaptação do roteiro do livro:

Polya, G. “A arte de resolver problemas: Uma novo aspecto do método matemático”. Download.

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27 – Médio – Inequação Modular

Aulas de Auxílio:

A lista foi desenvolvida baseado nos assuntos tratados nas playlist abaixo:

Vestibulândia Os assuntos são as 3 partes da aula 26.

Lista de Exercício:

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Gabarito:

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